第八十八章：图兰定理

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    晚餐是在基地的食堂，简单的四菜一汤。
    吃饭时，他们看到了另一群穿着深色外套丶身材普遍比中国少年高大壮实丶有着典型斯拉夫人面孔的男孩，在几位同样严肃的成年人带领下，坐在食堂的另一侧用餐。
    双方隔着几张空桌子，没有交流，只是偶尔投来打量和探究的目光。
    空气里弥漫着一种无声的丶混合着好奇与竞争的紧张感。
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    「那就是苏联队的？」吴磊压低声音，朝那边努了努嘴，「看着挺壮的，不像搞数学的，倒像练摔跤的。」
    「人不可貌相。」林枫低声说，「他们的数学教育体系很厉害，基础非常扎实，尤其几何和数论。」
    陆沉安静地吃着饭，目光快速扫过那边。
    他注意到，苏联少年们用餐时也很安静，举止有度，偶尔低声交谈，眼神锐利。
    他们中似乎也有年龄特别小的，但看起来至少也有十三四岁。
    相比之下，自己这边确实显得小巧许多。
    饭后，双方教练进行了简短的会面。
    秦总教练回来后，召集队员们开了个短会。
    「对方来了十个人，年龄在十四到十七岁之间，是他们的国家预备队成员，也是明年IMO的有力竞争者。」秦总教练语气凝重，「领队是莫斯科大学的知名教授伊万诺夫，以几何和组合见长。这次对抗赛，对我们双方都至关重要，是骡子是马，拉出来溜溜。
    今晚好好休息，养精蓄锐。记住，平常心，发挥出自己的水平就行。但同时，也要拿出我们中国队的精气神！」
    这一夜，陆沉睡得不很踏实。
    房间很冷，被子单薄，更重要的是，对未知对手的隐隐期待和一丝压力，让他思绪纷杂。
    他想起看过的那些苏联数学资料，想起王研究员曾提过苏联在理论计算机和基础数学方面的深厚底蕴，也想起临行前张老师在电话里的叮嘱：「就当是去见识一下世界级的同龄人是什么水平，输了不丢人，赢了是惊喜。」
    第二天清晨，雪停了，但天色依旧阴沉。
    对抗赛在基地一间宽敞的会议室举行。
    会议室中央摆着两排相对的长条桌，每边十个座位，桌上放着统一的文具和草稿纸。
    前方黑板旁，中苏双方的几位主要教练并排坐着，神情严肃。
    气氛庄重得如同正式的外交场合。
    中国队员穿着统一的深蓝色运动服，苏联队员则穿着灰色的夹克或毛衣，依次入场，按照事先抽签的座位号坐下。
    陆沉的座位在中间靠前，对面恰好坐着一个棕色卷发丶脸上有几颗雀斑丶看起来大约十四五岁的苏联男孩。
    男孩坐下后，好奇地看了陆沉一眼，似乎对他的年龄和身材有些惊讶，但很快收回目光，正襟危坐。
    伊万诺夫教授和秦总教练分别用俄语和中文简短致辞，强调了友谊和交流，随即宣布比赛开始。
    试卷被分发下来，是俄文和中文并列的。
    题目只有三道，但纸张很厚。
    陆沉深吸一口气，摒弃杂念，看向第一题。
    是一道几何题。
    题目描述了一个复杂的圆和四边形结构，需要证明某个角度是固定值。
    图形看似熟悉，但条件组合很奇特。
    他先在草稿纸上画出精确的草图，标注已知。
    苏联的几何题果然名不虚传，对图形直觉和添加辅助线的技巧要求极高。
    他尝试了几条常规辅助线，效果不大。
    时间一分一秒过去，他强迫自己冷静，重新审视图形中的对称性和隐藏的等量关系。
    忽然，他注意到图形中隐含着一个调和点列的性质，如果连接某两条看起来无关的线段……他迅速在草稿纸上验证，思路豁然开朗！
    关键的辅助线浮现出来，之后的证明虽然步骤不少，但逻辑顺畅。
    他舒了口气，开始工整地书写解答。
    用眼角余光瞥去，对面的苏联男孩也在专注作图，眉头微锁。
    周围一片寂静，只有笔尖划过纸张和偶尔翻动草稿的沙沙声。
    第二题是数论。
    关于丢番图方程整数解的存在性问题，涉及模运算和二次剩余理论，形式很苏联——抽象，深刻，需要从代数结构的高度去把握。
    陆沉对这类问题并不陌生，国家队训练中重点强化过。
    他尝试用中国剩余定理将问题分解，再结合二次互反律处理模素数幂的情况。
    推导过程需要极强的细心和逻辑严密性，他写得很慢，很稳，确保每一步都站得住脚。
    第三题是组合极值。
    题目描述了一个关于图着色和禁用子图的最大边数问题，背景带有明显的图论色彩。

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